Ikke-fornybare ressurser

Ressursrente

Vi har tidligere gjennomgått grunnrentebegrepet og sett at det er knyttet til ressursknapphet. Knapphet er et annet uttrykk for at etterspørselen overstiger tilbudet. Dette gir grunnlag for en superprofitt som vi kaller grunnrente. Harold Hotelling videreutviklet grunnrentebegrepet og innførte i 1931 uttrykket ressursrente, hvor også tidsdimensjonen ble innført.

Ressurseierens problem er å maksimere utbyttet ved utvinning av ressursen, under hensyntaken til rentetap ved å utsette utvinningen og framtidig tap av inntekt når ressursen er tømt.

To-periode tilfellet

Anta at tidshorisonten for utnytting av en ikke-fornybar ressurs kan deles inn i to perioder, periode 1 og 2. Ved starten av periode 1 er ressursmengden S. Anta videre at mengden q(t) blir utvunnet i periode t. Siden ressursmengden er begrenset, må følgende restriksjon gjelde:

Multi-periode tilfellet

Det er i prinsippet ingen forskjell mellom to eller flere perioders utvinning. Ved å endre periodebenevningen 1 pg 2 i funksjon (5) ovenfor og sette in t og t+1, vil funksjon gjelde generelt. Funksjon (5) og (6) kan da omskrives til

og

Terminalbetingelsen er

Anta en fast enhetspris lik p og at utvinningskostnadene, c, er en funksjon av mengden produsert (q). Nettoinntekten i periode t er da

når T er siste utvinningsperiodeperiode.

Hotellings regel

Til nå har vi betraktet prisen som konstant. La oss nå anta at ressurseieren har markedsmakt og at vi har en fallende etterspørselskurve. Heller ikke dette endrer hovedbildet ovenfor. Generelt gjelder

Marginalprofitten er

Harold Hotelling viste i 1931 hvorledes den optimale priskurve er beskrevet ved funksjon (10) når ressurseieren har markedsmakt. I sin enkleste form (når vi ikke har utvinningskostnader) kan Hotellings regel uttrykkes slik:

Vi antar et rentekrav lik r. Nåverdien at profittstrømmen over de to periodene er

Maksimum av funksjon (4), under bibetingelen i funksjon (1), kan regnes ut på flere måter. Enklest er det å sette opp problemet som en Lagrange-funksjon:

De partielt deriverte m.h.p. mengden utvunnet i hver periode (q(1) og q(2)) er:

Vi antar nå en kontinuerlig prisfunksjon (over tid), mens vi tidligere har gått ut fra diskret tid (perioder).

Figur 2. Optimal pris (p, blå kurve) ved gitt etterspørsel og uten utvinningskostnader. Det skraverte arealet angir ressursmengden S, mens q angir utvinning pr. tidsenhet.

Settes de partielt deriverte lik 0, finner vi løsningen

.

Kriteriet for maksimering av nåverdien, er at de neddiskonterte marginalprofittene i hver periode er like (Utregningen er vist i rammen ovenfor).

som kan omskrives til

Vi ser at kriteriet for profittmaksimering er at den relative endring i marginalprofitt fra periode 1 til periode 2, skal være lik rentekravet (r). En annen måte å uttrykke dette på er:

Den kortsiktige gevinst ved utvinning skal være lik det langsiktige neddiskonterte tap ved å ikke kunne foreta denne utvinninga i framtida.

Dersom ressurseieren har markedsmakt og påvirker prisen ved sitt produksjonskvantum, vil dette ikke innebære noen prinsippiell forskjell i forhold til det ovennevnte. Marginalprofitten vil da uttrykkes ved etterspørselsfunksjon og kostnadsfunksjon som i tilfellet for en prisfast kvantumstilpasser.

Sluttbetingelsen

Med en positiv rente (r) er det utfra likhet (5) opplagt at profitten de siste perioden nominelt må overstige profitten i første periode (når vi forutsetter poitiv profitt). De laveste marginalkostnader ressurseieren vil produsere under er når marginalkostnadene er lik gjennomsnittskostnadene (se figur 1). Dette vil være marginalkostnadene i periode 2. Terminalbetingelsen (sluttbetingelsen) er altså at marginalkostnadene er lik gjennomsnittskostnadene siste periode.

Figur 1. Marginalprofitt i periode 1 og 2.